Uncategorized

Deret Harmonik, Masalah Basel, dan Hipotesis Riemann

jonathanhoseana

Pengantar

Dalam matematika ada tiga jenis deret yang umum dikenal, yaitu deret aritmatika, deret geometri, dan deret harmonik. Dua yang pertama sudah rutin dipelajari di matematika sekolah. Yang terakhir, yaitu deret harmonik, lebih jarang dikenal. Padahal pembahasan tentang deret harmonik terkait erat dengan masalah-masalah menarik dalam teori bilangan, yang akan dibahas dalam tulisan ini.

Deret Harmonik

Deret harmonik adalah hasil penjumlahan dari kebalikan bilangan-bilangan asli, yaitu

$latex displaystyle frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldots=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n}$

Deret tersebut divergen, karena seandainya konvergen, misalnya ke $latex displaystyle H$, maka dengan membandingkan setiap sukunya kita ketahui bahwa

$latex displaystyle H= 1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+ldots>1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+frac{1}{6}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+ldots$

di mana deret di ruas kanan dapat ditulis sebagai $latex displaystyle frac{1}{2}+left(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldotsright)=frac{1}{2}+H$, sehingga mengakibatkan $latex displaystyle H>frac{1}{2}+H$, yang ekuivalen dengan $latex displaystyle 0>frac{1}{2}$, suatu kontradiksi.

Masalah Basel

Jika $latex displaystyle frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldots=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n}$ divergen, maka pertanyaan berikutnya yang wajar dikemukakan adalah bagaimana dengan $latex displaystyle frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+frac{1}{4^2}+ldots= sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^2}$? Pertanyaan ini pertama kali dikemukakan oleh Pietro Mengoli pada tahun 1644, dan terjawab…

View original post 1,031 more words

Uncategorized

Euler dan Masalah Basel — Animath

Semasa hidupnya, Leonhard Euler telah banyak memecahkan masalah Matematika yang mana solusinya masih digunakan hingga saat ini. Salah satu masalah matematika paling famous pada tahun 1644 adalah masalah Basel, yang dipublikasikan oleh Pietro Mengoli. Masalah Basel berbicara tentang limit dari deret tak terhingga, Masalah ini cukup sulit dikarenakan deret tersebut konvergen dengan sangat lambat. De… Continue reading Euler dan Masalah Basel — Animath

Uncategorized

Pendaftaran Australia Awards Scholarship 2016 telah dibuka!

a madeandi's life

Penjelasan singkat
Australia Awards Scholarship alias AAS adalah beasiswa penuh bagi masyarakat Indonesia yang memenuhi syarat untuk studi S2 atau S3 di perguruan tinggi Australia. Jika Anda sudah menyelesaikan pendidikan S1 dan berusia di bawah 42 tahun, Anda berkesempatan untuk mendaftar. Berikut ini hal-hal penting yang mungkin membantu Anda.

View original post 632 more words