Matematika · Problems · Teori Bilangan

Soal Faktorial

Tentukan jumlah dari  $latex \sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=1.1!+2.2!+...+n.n!$ ! Penyelesaian: Perhatikan bahwa $latex \begin{aligned} k.k!&=(k+1-1).k! \\  &= (k+1)k!-k! \\ &= (k+1)!-k! \end{aligned} $ Diperoleh $latex \begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n}k.k! &= 1.1!+2.2!+...+n.n! \\ &=(2! -1!)+(3!-2!)+ \ldots +((n+1)!-n!) \\&=(n+1)!-1 \end{aligned}$ Catatan: Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa $latex \sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=(n+1)!-1$.  

Advertisements
Analisis · Integral · Matematika · Math · Problems

Soal Integral SIMAK UI 2014

Hari Ahad ini mengendap di kamar saja tanpa agenda dan tanpa tujuan yang jelas untuk melalui hari libur ini. Jadinya di kamar cuma baca berita terus ketemu soal SIMAK UI tahun 2014. Dari sekian banyak soal matematika, saya tertarik pada soal integral. Menurut saya soalnya cukup menantanglah. Jadinya saya coba kerja dan alhamdulillah dapat jawabannya… Continue reading Soal Integral SIMAK UI 2014

Matematika · Math · Quote

Mathematicians …

Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers, and we have reason to believe that it is a mystery into which the human mind will never penetrate. Leonhard Euler (1707–1783)

Aljabar · Analisis · Matematika · Math · Problems

Problem of the Month

Pada postingan kali ini saya akan mencoba membahas sebuah soal. Tentukan semua fungsi $latex f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sehingga $latex f(2013)=2014$ dan untuk setiap $latex x, y \in \mathbb{R}$ berlaku $latex f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))$ Solusi: Untuk $latex y=0$, diperoleh $latex f(0)=0$. Untuk $latex x=0$, diperoleh $latex 0=f(0)=f(y)+f(-y)$. Akibatnya $latex f(-y)=-f(y)$. Jadi $latex f$ merupakan fungsi ganjil. Selanjutnya, untuk sebarang… Continue reading Problem of the Month

Geometry · Matematika · Math · Math Jokes

Random Polygon to Ellipse

Kali ini kita akan melihat sisi lain dari matematika. Sekarang kita akan liat bagaimana sebarang poligon berubah menjadi elips. Perhatikan gamabar berikut Buatlah beberapa titik pada kertas, kemudian hubungkan titik tersebut sehingga membentuk polygon.  Selanjutnya, tentukan titik tengah dari tiap sisi polygon kemudian hubungkan titik-titik tengah tersebut sehingga membentuk polygon baru. Ulangi proses tersebut. Lihatlah… Continue reading Random Polygon to Ellipse

Analisis · Matematika

Prinsip Kontraksi Banach

Misalakan $latex (X,d)$ merupakan ruang metrik. Pemetaan $latex f:X\rightarrow X$ dikatakan Lipschitzian apabila terdapat bilangan konstan $latex \alpha \geq 0$ sehingga untuk setiap $latex x,y \in X$ memenuhi $latex d(f(x),f(y)) \leq \alpha d(x,y)$. Nilai $latex \alpha$ terkecil yang memenuhi persamaan diatas disebut konstanta Lipschitz (Lipschitz constant) untuk $latex f$ dan dinotasikan dengan $latex L$. Jika… Continue reading Prinsip Kontraksi Banach