Uncategorized

Deret Harmonik, Masalah Basel, dan Hipotesis Riemann

jonathanhoseana

Pengantar

Dalam matematika ada tiga jenis deret yang umum dikenal, yaitu deret aritmatika, deret geometri, dan deret harmonik. Dua yang pertama sudah rutin dipelajari di matematika sekolah. Yang terakhir, yaitu deret harmonik, lebih jarang dikenal. Padahal pembahasan tentang deret harmonik terkait erat dengan masalah-masalah menarik dalam teori bilangan, yang akan dibahas dalam tulisan ini.

Deret Harmonik

Deret harmonik adalah hasil penjumlahan dari kebalikan bilangan-bilangan asli, yaitu

$latex displaystyle frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldots=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n}$

Deret tersebut divergen, karena seandainya konvergen, misalnya ke $latex displaystyle H$, maka dengan membandingkan setiap sukunya kita ketahui bahwa

$latex displaystyle H= 1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+ldots>1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+frac{1}{6}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+ldots$

di mana deret di ruas kanan dapat ditulis sebagai $latex displaystyle frac{1}{2}+left(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldotsright)=frac{1}{2}+H$, sehingga mengakibatkan $latex displaystyle H>frac{1}{2}+H$, yang ekuivalen dengan $latex displaystyle 0>frac{1}{2}$, suatu kontradiksi.

Masalah Basel

Jika $latex displaystyle frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldots=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n}$ divergen, maka pertanyaan berikutnya yang wajar dikemukakan adalah bagaimana dengan $latex displaystyle frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+frac{1}{4^2}+ldots= sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^2}$? Pertanyaan ini pertama kali dikemukakan oleh Pietro Mengoli pada tahun 1644, dan terjawab…

View original post 1,031 more words

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s