Analisis · Matematika · Teori Bilangan

Akar 2 merupakan bilangan irasional

Ketika kita mengatakan bahwa \sqrt{2} adalah bilangan iirasional, “apakah maksudnya?”. Kita sebaiknya menyelidiki apa yang dimaksud irrasional untuk menentukan artinya.
Irrasional berarti tidak rasional
Tidak rasional berarti tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat.
Tidak dapat dinyatakan sebagai rasio berarti tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
Jadi tidak ada pecahan \frac{a}{b}=\sqrt{2} (dimana a dan b merupakan bilangan bulat).
Jika kita menghitung \sqrt{2} dengan menggunakan kalkulator, kita akan memperoleh
\sqrt{2}=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731
76679737990732478462107038850387534327641572...
Perhatikan bahwa pola diantara angka-angkanya, dan tidak ada pengulangan angka secara berkelompok. Apakah ini menendakan bahwa bilangan rasional memiliki perulangan angka secara periode? Perhatikan pecahan berikut
\frac{1}{7}=0,142857\underline{142857}142857\underline{142857}...
Perhatikan bahwa pecahan \frac{1}{7} mengalami perulangan angka setiap 6 digit.
Bagaimana dengan pecahan \frac{1}{109}?
\frac{1}{109}=0,00917431192660550458715596330275229357798
16513761467889908256880733944954128440366972477064220183
48623...
Hasil perhitungan ini merupakan hasil perhitungan 100 angka dibelakang koma
dan menunjukkan tidak ada perulanagan digit secara periode.Apakah ini
menunjukkan bahwa \frac{1}{109} merupkan bilngan irrasional? Ternyata tidak, jika kita
mencoba untuk melanjutkan perhitungan, kita akan sampai pada
\frac{1}{109}=0,009174311926605504587155963302752293577981651
3761467889908256880733944954128440366972477064220183486238
5321100917431192660550458715596330275229357798165137614678
899082568807339449541284403669724770642201834862385321100917431
1926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394
495412844036697247706422018348623853211009174...
Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap pecahan jika dinyatakan dalam bentuk
decimal memiliki angka decimal yang berulang secara periode.
Contoh lain:
\frac{1}{3}=0,333333...
\frac{1}{13}=0,076923\underline{076923}076923\underline{076923}0769230...
Tetapi ini bukan merupakan bukti bahwa bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan \frac{a}{b}.
Berikut adalah bukti \sqrt{2} merupakan bilangan irrasional.
Andaikan terdapat bilangan rasional r segingga r=\sqrt{2}. Misalkan r=\frac{a}{b} dimana
a dan b tidak mempunyai factor sekutu selain 1.Sehingga
\frac{a}{b}=\sqrt{2}
\frac{a^{2}}{b^{2}}=2 atau a^{2}=2b^{2} sehingga a^{2} dan a merupakan bilangan genap.
Karena a bilangan genap maka a=2p, untuk suatu bilangan bulat p.
a^{2}=2b^{2}
(2p)^{2}=2b^{2}
b^{2}=2p^{2}
Jadi b^{2} dan b merupakan bilangan genap (habis dibagi 2).
Hal ini kontradiksi dengan asumsi awal bahwa a dan b tidak mempunyai factor sekutu selain 1.
Jadi \sqrt{2} tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
Semoga membantu…

Sumber: Alfred S. Posamentier-MATH WONDERS TO INSPIRE TEACHERS AND STUDENTS-Association for Supervision and Curriculum Development (2003)

Advertisements

5 thoughts on “Akar 2 merupakan bilangan irasional

  1. ehh, akar 2 nya itu kan cuma ada 99 angka di belakang koma
    kalau angka ke 100 di belakang koma dr akar 2 berapa ya??
    #fast response please, segera dibutuhkan

  2. ehh, kalau akar 2 itu tadi kan cuma ada 99 angka di belakang koma
    kalau 100 angka dibelakang koma, angka ke 100 nya angka berapa??
    #fast response please, segera dibutuhkan

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s