Uncategorized

Deret Harmonik, Masalah Basel, dan Hipotesis Riemann

jonathanhoseana

Pengantar

Dalam matematika ada tiga jenis deret yang umum dikenal, yaitu deret aritmatika, deret geometri, dan deret harmonik. Dua yang pertama sudah rutin dipelajari di matematika sekolah. Yang terakhir, yaitu deret harmonik, lebih jarang dikenal. Padahal pembahasan tentang deret harmonik terkait erat dengan masalah-masalah menarik dalam teori bilangan, yang akan dibahas dalam tulisan ini.

Deret Harmonik

Deret harmonik adalah hasil penjumlahan dari kebalikan bilangan-bilangan asli, yaitu

$latex displaystyle frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldots=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n}$

Deret tersebut divergen, karena seandainya konvergen, misalnya ke $latex displaystyle H$, maka dengan membandingkan setiap sukunya kita ketahui bahwa

$latex displaystyle H= 1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}+ldots>1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{4}+frac{1}{6}+frac{1}{6}+frac{1}{8}+frac{1}{8}+ldots$

di mana deret di ruas kanan dapat ditulis sebagai $latex displaystyle frac{1}{2}+left(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldotsright)=frac{1}{2}+H$, sehingga mengakibatkan $latex displaystyle H>frac{1}{2}+H$, yang ekuivalen dengan $latex displaystyle 0>frac{1}{2}$, suatu kontradiksi.

Masalah Basel

Jika $latex displaystyle frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+ldots=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n}$ divergen, maka pertanyaan berikutnya yang wajar dikemukakan adalah bagaimana dengan $latex displaystyle frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+frac{1}{4^2}+ldots= sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^2}$? Pertanyaan ini pertama kali dikemukakan oleh Pietro Mengoli pada tahun 1644, dan terjawab…

View original post 1,031 more words

Advertisements
Uncategorized

Euler dan Masalah Basel — Animath

Semasa hidupnya, Leonhard Euler telah banyak memecahkan masalah Matematika yang mana solusinya masih digunakan hingga saat ini. Salah satu masalah matematika paling famous pada tahun 1644 adalah masalah Basel, yang dipublikasikan oleh Pietro Mengoli. Masalah Basel berbicara tentang limit dari deret tak terhingga, Masalah ini cukup sulit dikarenakan deret tersebut konvergen dengan sangat lambat. De… Continue reading Euler dan Masalah Basel — Animath

Matematika · Problems · Teori Bilangan

Soal Faktorial

Tentukan jumlah dari  $latex \sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=1.1!+2.2!+...+n.n!$ ! Penyelesaian: Perhatikan bahwa $latex \begin{aligned} k.k!&=(k+1-1).k! \\  &= (k+1)k!-k! \\ &= (k+1)!-k! \end{aligned} $ Diperoleh $latex \begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n}k.k! &= 1.1!+2.2!+...+n.n! \\ &=(2! -1!)+(3!-2!)+ \ldots +((n+1)!-n!) \\&=(n+1)!-1 \end{aligned}$ Catatan: Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa $latex \sum\limits_{k=1}^{n}k.k!=(n+1)!-1$.  

Cerita · Lain

Radio Tua

Tulisan "Telesonic" masih terlihat jelas di bagian depan. Bentuknya yang kusam menunjukkan jika benda ini sudah berumur. Ya, umurnya lebih tua dari umur saya. Saya menemukannnya di tumpukan barang yang akan dibuang. Dibuang karena sudah tidak bisa digunakan lagi. Adakah cerita yang tertinggal dari benda tua ini? *** Bagi mereka yang hidup di awal tahun… Continue reading Radio Tua

about me · Cerita · Quote

Kenangan

Sesuatu yang tua atau usang pasti akan terganti, tapi tidak dengan kenangan yang ditinggalkannya (random thought) Tidak ada hal yang kekal di dunia fana ini. Mahluk hidup pasti mati menuju alam yang kekal. Mahluk tak hidup akan tua, usang, rusak dan tak bisa digunakan lagi. Itu sudah menjadi ketentuan Ilahi. Namun dari setiap hal yang… Continue reading Kenangan

about me · Cerita · Lain

Lupa Kalau Sedang Puasa

Ibnu Hajar Al Asqolani menyebutkan dalam Bulughul Marom no. 669 dan 670 hadits berikut ini, Dari Abu Hurairah radhiyallahu ‘anhu, ia berkata, Rasulullah shallallahu ‘alaihi wa sallam bersabda, “Barangsiapa yang lupa sedang ia dalam keadaan puasa lalu ia makan atau minum, maka hendaklah ia sempurnakan puasanya karena kala itu Allah yang memberi ia makan dan… Continue reading Lupa Kalau Sedang Puasa